S1: La distribución muestral de la media

Estadística Matemática — Maestría en Economía Aplicada

Contexto

Queremos conocer el salario mensual promedio entre los trabajadores asalariados de una economía. No podemos encuestar a toda la población, así que tomamos una muestra y calculamos su promedio, \(\bar X_n\).

Pregunta central de la Sesión 1: si \(\bar X_n\) depende de qué trabajadores nos tocaron en la muestra, ¿qué tan confiable es como estimador de la media poblacional \(\mu\)?

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Parte 1: la población de salarios (simulada)

Simulamos una población de salarios con una distribución log-normal —a propósito asimétrica hacia la derecha, como los salarios reales (unos pocos ingresos muy altos)—, para que en la Sesión 8 (Teorema del Límite Central) recordemos de dónde partimos.

Parte 2: una sola muestra

Tomamos una muestra de tamaño n y calculamos su media, \(\bar x_n\). Cambia n abajo y vuelve a correr el bloque — ¿qué tan cerca cae \(\bar x_n\) de \(\mu\) cada vez?

Parte 3: repetir la muestra muchas veces — la distribución muestral de \(\bar X_n\)

\(\bar X_n\) es una variable aleatoria: cada vez que resurveamos, cambia. Si repetimos el experimento n_sims veces, podemos ver su propia distribución —la distribución muestral— y compararla con lo que el Teorema de la Sesión 1 predice: \(\bar X_n \approx \mathcal N(\mu, \sigma^2/n)\).

Cambia n o n_sims abajo y vuelve a correr para comparar.

Preguntas para responder cambiando n y n_sims en el código:

  • Al aumentar n, ¿la distribución muestral se concentra más alrededor de \(\mu\)? ¿Qué tan rápido?
  • ¿La desviación estándar empírica de las \(\bar x_n\)’s se acerca a \(\sigma/\sqrt n\)?
  • La población de salarios es asimétrica. ¿La distribución muestral de \(\bar X_n\) también lo es, incluso con n moderada? (Un anticipo del Teorema del Límite Central, Sesión 8.)

Para llevar

  • \(\E[\bar X_n] = \mu\): no importa qué tan asimétrica sea la población, \(\bar X_n\) es insesgado.
  • \(\Var(\bar X_n) = \sigma^2/n\): la dispersión de la distribución muestral cae con \(n\), a una tasa de \(1/\sqrt n\).
  • Estos dos hechos —no la forma exacta de la población— son los que hacen que \(\bar X_n\) sea un estimador confiable de \(\mu\).

Guión de clase y handout completo: ver la sección de Estadística Matemática en este mismo menú de Teaching.