Un vector aleatorio \(X=(X_1,\dots,X_k)'\) reúne \(k\) variables medidas en la misma unidad de observación: un hogar, una persona, una empresa. Su matriz de varianza y covarianza, \(\Sigma=\E[(X-\mu)(X-\mu)']\), es la tabla de \(k\times k\) cuya entrada \((i,j)\) es \(\Cov(X_i,X_j)\). Con \(\Sigma\) se obtiene la varianza de cualquier suma ponderada de las variables, \(\Var(a'X)=a'\Sigma a\). Es la herramienta para medir la dispersión de índices y portafolios y, en regresión, la precisión de los coeficientes.
Casi toda medición en economía aplicada combina varias variables: un índice de bienestar suma educación, salud e ingreso; un portafolio suma activos; un coeficiente de regresión es una suma ponderada de las observaciones. La varianza de una suma depende de cómo se mueven juntas sus partes, y la matriz \(\Sigma\) guarda esa información en un solo objeto.
| Pestaña | Pregunta que responde |
|---|---|
| 1. Vectores y matrices | ¿Cómo se multiplican una matriz y un vector, y qué es \(a'Aa\)? |
| 2. Covarianza | ¿Cómo se mide si dos variables se mueven juntas? |
| 3. La matriz \(\Sigma\) | ¿Cómo se organizan todas las varianzas y covarianzas de \(k\) variables? |
| 4. Índice | ¿Cuánto varía entre hogares un índice que combina varias variables? |
| 5. Direcciones | ¿Qué combinación de las variables varía más y cuál menos? |
| 6. ¿Matriz posible? | ¿Por qué algunas tablas de correlaciones no pueden existir? |
| 7. Independencia | ¿Covarianza cero quiere decir que las variables no se relacionan? |
| 8. Portafolio | ¿Cómo se combinan dos activos para reducir el riesgo? |
Un vector es una lista ordenada de números. Por convención es una columna; la transpuesta \(a'\) es la misma lista escrita como renglón:
\[a=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\end{pmatrix},\qquad a'=(a_1,\ a_2).\]
El producto punto de dos vectores multiplica entrada por entrada y suma: \(a'b=a_1b_1+a_2b_2\). Con \(b=a\) da la longitud al cuadrado, \(a'a=a_1^2+a_2^2\).
Una matriz es una tabla de números; \(A_{ij}\) es la entrada del renglón \(i\) y la columna \(j\). Es simétrica si \(A_{ij}=A_{ji}\), es decir, si \(A'=A\). Para multiplicar una matriz por un vector se hace un producto punto por cada renglón:
\[Aa=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_{11}a_1+A_{12}a_2\\ A_{21}a_1+A_{22}a_2\end{pmatrix}.\]
La forma cuadrática \(a'Aa\) es el producto punto de \(a\) con \(Aa\). Resulta un solo número: la suma de todas las entradas de \(A\), cada una multiplicada por \(a_ia_j\):
\[a'Aa=\sum_{i}\sum_{j}a_i\,a_j\,A_{ij}=a_1^2A_{11}+2a_1a_2A_{12}+a_2^2A_{22}.\]
La última igualdad usa que \(A\) es simétrica: \(A_{12}=A_{21}\), así que los dos términos cruzados se juntan en \(2a_1a_2A_{12}\).
Esta suma es la que aparece en la varianza de una suma ponderada, y por eso la usaremos en todas las pestañas que siguen. Con \(k\) variables es lo mismo, con \(k^2\) términos.
Cada punto es una observación (un hogar) con dos variables: \(X_1\) en el eje horizontal y \(X_2\) en el vertical. Las líneas punteadas marcan las medias. Para cada hogar se multiplica su desviación en \(X_1\) por su desviación en \(X_2\):
\[\Cov(X_1,X_2)=\E\big[(X_1-\mu_1)(X_2-\mu_2)\big].\]
El producto es positivo en los cuadrantes donde las dos variables están del mismo lado de su media (azul) y negativo donde están de lados opuestos (rojo). La covarianza es el promedio de esos productos.
La covarianza tiene unidades (las de \(X_1\) por las de \(X_2\)) y cambia si cambian las unidades. La correlación divide entre las dos desviaciones estándar, \(\rho=\Cov(X_1,X_2)/(\sigma_1\sigma_2)\), y por eso no tiene unidades y siempre está entre \(-1\) y \(1\).
Con tres variables por hogar, educación (E), salud (S) e ingreso (G), hay tres varianzas y tres covarianzas distintas. Con \(k\) variables hay \(k\) varianzas y \(k(k-1)/2\) covarianzas. La matriz las acomoda en una tabla: la entrada del renglón \(i\) y la columna \(j\) es \(\Cov(X_i,X_j)\), y la diagonal guarda las varianzas, porque \(\Cov(X_i,X_i)=\Var(X_i)\).
\[\Sigma=\begin{pmatrix}\Var(E)&\Cov(E,S)&\Cov(E,G)\\ \Cov(S,E)&\Var(S)&\Cov(S,G)\\ \Cov(G,E)&\Cov(G,S)&\Var(G)\end{pmatrix}\]
Aquí las tres variables están estandarizadas (media 0, varianza 1), así que \(\Sigma\) coincide con la matriz de correlaciones \(R\). Cada panel muestra 300 hogares simulados con las correlaciones que elijas.
Filas y columnas de \(\Sigma\) son variables, no observaciones. El mismo objeto puede construirse entre observaciones (por ejemplo, entre alumnos de una misma escuela); entonces cada renglón y cada columna corresponde a una persona.
Estas correlaciones se usan también en las pestañas 4 y 6.
La matriz es simétrica porque \(\Cov(X_i,X_j)=\Cov(X_j,X_i)\). En notación de vectores, \(\Sigma=\E[(X-\mu)(X-\mu)']\): el producto de una columna por un renglón da una tabla con todos los productos \((X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)\), y la esperanza de cada uno es una covarianza.
Queremos resumir el bienestar de cada hogar en un solo número, \(I=w_EE+w_SS+w_GG\), y saber cuánto varía ese número entre hogares. La varianza de una suma no es la suma de las varianzas: hay que agregar dos veces cada covarianza.
\[\begin{aligned}\Var(I)={}&w_E^2\Var(E)+w_S^2\Var(S)+w_G^2\Var(G)\\&+2w_Ew_S\Cov(E,S)+2w_Ew_G\Cov(E,G)+2w_Sw_G\Cov(S,G).\end{aligned}\]
Son exactamente los términos de la forma cuadrática de la pestaña 1, así que \(\Var(I)=w'\Sigma w\) con \(w=(w_E,w_S,w_G)'\).
Cada barra es un término de la suma de arriba. Grises: las tres varianzas ponderadas. Azules (o rojas si son negativas): las tres covarianzas, cada una contada dos veces. La barra ocre de la derecha es la suma, \(\Var(I)\). Valores ilustrativos.
Peso de ingreso \(w_G=1-w_E-w_S\) = . Las correlaciones vienen de la pestaña 3.
La desviación estándar describe qué tan distintos son los hogares entre sí. El error estándar describe qué tanto cambiaría el promedio de una muestra de 100 hogares independientes de una muestra a otra: \(\sqrt{\Var(I)/100}\).
Tomemos sólo educación (\(X_1\)) y salud (\(X_2\)) y formemos un índice \(a_1X_1+a_2X_2\). Para comparar índices con la misma escala fijamos \(a_1^2+a_2^2=1\); entonces los pesos se describen con un ángulo, \(a=(\cos\theta,\sin\theta)'\):
La recta ocre apunta en la dirección \(a\). Cada línea delgada lleva un hogar hasta la recta; el punto azul donde cae es el valor de su índice. La dispersión de los puntos azules a lo largo de la recta es la varianza del índice, \(a'\Sigma a\).
Con correlación positiva, la suma de las dos variables (cerca de 45°) varía mucho y la diferencia (cerca de 135°) varía poco. La dirección de máxima varianza se llama primer componente principal; es el criterio que usan algunos índices de activos del hogar para elegir pesos.
De la pestaña 4: para cualquier vector de pesos \(a\), \(a'\Sigma a\) es la varianza de un índice. Una varianza no puede ser negativa. Por lo tanto, toda matriz de varianza y covarianza cumple
\[a'\Sigma a\ \ge\ 0\quad\text{para todo vector }a.\]
Una matriz con esta propiedad se llama semidefinida positiva. Si una tabla de correlaciones produce \(a'Ra<0\) para algún \(a\), no existe ninguna población con esas correlaciones.
La figura calcula \(a'Ra\) para 3,000 vectores de pesos distintos, todos con \(a'a=1\), usando las correlaciones de la pestaña 3. Si alguno cae a la izquierda de cero, la tabla es imposible.
Pesos \((a_E,a_S,a_G)\) del índice con menor varianza:
Dos variables, \(X\) y \(Y\), medidas en las mismas 400 observaciones. En los cuatro patrones \(Y\) depende de \(X\). La covarianza sólo registra la parte lineal de esa relación.
Se invierte una fracción \(w\) en el activo 1 y \(1-w\) en el activo 2. El rendimiento es \(R_p=wR_1+(1-w)R_2\), una suma ponderada con \(a=(w,\,1-w)'\), así que \(\Var(R_p)=a'\Sigma a\):
\[\Var(R_p)=w^2\sigma_1^2+(1-w)^2\sigma_2^2+2w(1-w)\rho\sigma_1\sigma_2,\qquad w^*=\frac{\sigma_2^2-\rho\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}.\]
Curva ocre: desviación estándar del portafolio. Línea punteada: lo que daría un promedio simple de los dos riesgos. La distancia entre las dos es la ganancia por diversificar.
Usamos wage1 (Wooldridge): 526 trabajadores de Estados Unidos en 1976, con salario por hora, escolaridad, experiencia y antigüedad. La base está disponible en los tres lenguajes. El código comprueba numéricamente que la varianza de una suma ponderada es \(w'\Sigma w\) y que la matriz es semidefinida positiva.