Distribuciones, media y varianza, error estándar, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. Cada pestaña tiene una figura que puedes mover; antes de revelar una respuesta, escribe tu predicción.
Toda estimación con datos de encuestas o registros administrativos tiene la misma estructura: una población que no observamos completa, una muestra, un estimador y una medida de su precisión. Este repaso fija esa estructura con el caso más simple, la media. La misma estructura reaparece al estimar vectores de medias y coeficientes de regresión.
| Pestaña | Pregunta que responde |
|---|---|
| 1. Sumas, integrales y logaritmos | ¿Qué herramientas de cálculo se usan en el repaso? |
| 2. Distribuciones | ¿Qué valores puede tomar una variable y con qué probabilidad? |
| 3. Media y varianza | ¿Dónde está el centro de una distribución y qué tan dispersa es? |
| 4. Error estándar | ¿Cuánto cambiaría una media si repitiéramos la encuesta? |
| 5. Intervalo de confianza | ¿Qué rango de valores es compatible con los datos, y qué significa el 95%? |
| 6. Prueba de hipótesis | ¿Es la diferencia entre dos grupos más grande de lo que produciría el azar del muestreo? |
La secuencia: distribución de \(X\) → \(\mu\) y \(\sigma\) → muestra y \(\bar X_n\) → \(\se(\bar X_n)=\sigma/\sqrt n\) → intervalo de confianza y prueba de hipótesis.
\(\sum_{i=1}^n x_i=x_1+\dots+x_n\). Para una variable que toma pocos valores, la media es una suma de valores ponderados por su probabilidad:
\[\E[X]=\sum_x x\,\P(X=x).\]
Cuando la variable es continua, la suma se convierte en una integral. \(\int_a^b f(x)\,dx\) es el área bajo la curva \(f\) entre \(a\) y \(b\). Se puede aproximar con rectángulos: ancho \(\Delta x\), altura \(f(x)\), y sumar. Al hacer los rectángulos más angostos, la suma se acerca al área exacta. La figura lo hace con la densidad normal estándar.
\[\P(a<X<b)=\int_a^b f(x)\,dx\approx\sum_k f(x_k)\,\Delta x,\qquad \E[X]=\int x\,f(x)\,dx.\]
\(\ln\) es la función inversa de \(e^x\): \(\ln(e^x)=x\). Convierte productos en sumas, \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), y por eso un cambio pequeño en \(\ln y\) se lee como un cambio porcentual en \(y\): \(\ln(1.10\,y)-\ln y=\ln 1.10\approx0.095\). Si \(\ln Y\) tiene distribución normal, \(Y\) tiene distribución log-normal: asimétrica, siempre positiva, como los salarios.
Abajo, la función de distribución acumulada \(F(x)=\P(X\le x)\). En cada valor con masa, el punto relleno marca el valor que toma \(F\) y el círculo vacío el límite por la izquierda: \(F\) es continua por la derecha y tiene límite por la izquierda (càdlàg). La línea punteada es el salto en \(k\), igual a \(\P(X=k)\).
Dos reglas: \(p_X(x)\ge 0\) y \(\sum_x p_X(x)=1\).
Elige una distribución y mueve sus parámetros. La línea vertical es la media \(\mu\); la franja sombreada va de \(\mu-\sigma\) a \(\mu+\sigma\).
Para que un intervalo de 95% para \(\mu\) tenga un margen de \(\pm E\) se necesitan aproximadamente \(n=(1.96\,\sigma/E)^2\) observaciones.
Duplicar \(\sigma\) cuadruplica la muestra necesaria. Con más variabilidad en la población hace falta más muestra para describirla con la misma precisión.
\[\begin{aligned}\E[aX+b]&=a\E[X]+b,\\ \Var(aX+b)&=a^2\Var(X),\\ \sigma_{aX+b}&=|a|\,\sigma_X.\end{aligned}\]
Cada clic toma una muestra de \(n\) salarios de una población simulada y agrega su media al panel inferior. El panel superior muestra la última muestra.
Población simulada de salarios mensuales: log-normal con media de 13,698 pesos y desviación estándar de 7,300 pesos.
| Desviación estándar, \(s\) | Error estándar | |
|---|---|---|
| Describe | Qué tan lejos están los datos de su media | Qué tanto cambia un estimador entre muestras |
| Al crecer \(n\) | Se estabiliza cerca de \(\sigma\) | Tiende a cero como \(1/\sqrt n\) |
\[\Var(\bar X_n)=\frac{1}{n^2}\Var\Big(\sum_i X_i\Big)=\frac{1}{n^2}\sum_i\Var(X_i)=\frac{\sigma^2}{n}.\]
El segundo paso requiere que las covarianzas entre observaciones sean cero, lo que ocurre si son independientes.
Cada línea horizontal es un intervalo construido con una muestra distinta de la misma población. La línea vertical es la media poblacional \(\mu\), que no cambia. En rojo, los intervalos que no contienen a \(\mu\).
Nivel de confianza \(1-\alpha\): la probabilidad, antes de tomar la muestra, de que el procedimiento produzca un intervalo que contenga a \(\mu\). \(\alpha\) es la probabilidad de que no la contenga; en una prueba de hipótesis es la probabilidad de error tipo I.
Cobertura: la proporción de intervalos que efectivamente contienen a \(\mu\) cuando se repite el muestreo muchas veces. Si los supuestos se cumplen, la cobertura es igual al nivel de confianza.
Fórmula: \(\bar x\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\, s/\sqrt n\).
Compara el ingreso laboral mensual de dos grupos. Arriba, la distribución de cada grupo en la muestra. Abajo, la distribución de la diferencia de medias \(\bar X_1-\bar X_2\) si en la población no hubiera diferencia (\(H_0\)), junto con la diferencia observada.
Datos simulados. Las medias de cada grupo se fijaron en órdenes de magnitud parecidos a los de las encuestas de empleo de México; no son estimaciones oficiales.
La misma lógica para una sola media: \(H_0:\mu=\mu_0\). Es la misma prueba que se aplica a un coeficiente de regresión, \(H_0:\beta=0\).
Arriba: distribución del estadístico bajo \(H_0\); el área sombreada es el valor \(p\). Abajo: el intervalo de 95% y el valor nulo \(\mu_0\).
El mismo análisis en tres lenguajes: simular dos grupos, calcular medias, desviaciones estándar, el error estándar, un intervalo de confianza y la prueba de diferencia de medias. Cambia la semilla y compara tus números con los de otra persona.